实数集与函数

实数

实数由有理数和无理数两部分组成

• 有理数：可以用分数形式p/q（p,q为整数，q!=0）来表示。也可以用有限十进制小数或者无限十进制循环小数来表示。

• 无理数：无限十进不循环小数为无理数。

有有限小数也可以表示成无限小数。

比如说：2.001记为2.0009999999.....

比如说：-8记为-7.9999999999.....

比如说：0记为0.0000.....

也就是说，任何一个实数，都可以用一个确定的无限小数来表示。

• n位不足近似与n位过剩近似

假设X=a0·a1·a2...an为非负实数，那么我们称有理数Xn=a0·a1·a2...an为实数X的n位不足近似，而有理数Xn拔=Xn+1/10的n次方为X的n位过剩近似。

什么意思呢？

比如说，实数X = 10.01，那么10.009999为10.01的6位不足近似。而10.01+0.02=10.02为10.01的2位过剩近似。

而负实数则相反。

命题：x = a0a1a2a3....an与y=a0a1a2...an为两个实数，则x>y的等价条件存在非负整数n使得xn>yn拔

也就是x的n位不足近似>y的n位过剩近似。

eg: 设x,y为实属，x<y，证明：存在有理数r满足：

x<r<y

证明：

由于x<y，故存在xn拔<yn，n为非负整数。

令r=1/2(xn拔<+yn)，由定义有理数可以表示为p/q，q不为0，q,p为整数，那么r为有理数。

实数的性质

• 实数的四则运算，加减乘除（除数不为0）是封闭的，也就是运算结果仍然是实数；
• 实数集是有序的，也就是ab两个实九必须满足a=b,或者a>b,或者a<b；
• 实数的大小具有传递性，也就是a>b,b>c那么a>c
• 实数具有阿基米德性，也就是任意的实数a,b，如果b>a>0，那么存在整数n使得na>b;
• 实数集具有稠密性，也就是说任意的两个实数间，一定存在另外一个实数，这个实数可以是有理数，也可以是无理数；
• 实数集与数轴成映射关系，也就是所有的实数都在在数轴上找到对应的位置。

阿基米德性

什么是阿基米德性呢？

对于任何a,b$\in$R，若b>a>0，则存在正整数n使得na>b>=(n-1)a

eg：设a,b属于实数集，证明：若对任何正数ε,有a<b+ε,则a<=b

这里要理解的是ε这个玩意儿，是可大可小的，所以证明时是一个好用的东西

可以使用反证法来证明。

若结论不成立，那么根据实数集的性质，有序性，则有a>b，令ε=a-b，则ε为正数且a=b+ε,但这与假设的a<b+ε相矛盾，所以a<=b成立。

绝对值与不等式

$|a| =\begin{cases} a,a>=0\ -a,a<0 \end{cases}$

数轴上绝对值的含义

数轴上绝对值的含义就是点a到原点的距离为$|a|$

• 实数的绝对值性质
• $|a|$=$|-a|$>=0;当且仅当a=0时有$|a|$ = 0
• -$|a|$<=a<=$|a|$
• $|a|$<h $\iff$